Question

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q₁为0.25，在B处的命中率为q₂，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

ξ	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

（1）求q₂的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

Answer 1

分析：（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．
（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较．

解答：解：（1）设该同学在A处投中为事件A，
在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，
且P（A）=0.25，P（

.

A

）=0.75，P（B）=q₂，P（

.

B

）=1-q₂．
根据分布列知：ξ=0时P（

.

A

.

B

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

B

）=0.75（1-q₂）²=0.03，
所以1-q₂=0.2，q₂=0.8；

（2）当ξ=2时，P₁=P=（

.

A

B

.

B

+

.

A

.

B

B）=P（

.

A

B

.

B

）+P（

.

A

.

B

B）
=P（

.

A

）P（B）P（

.

B

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（B）
=0.75q₂（1-q₂）×2=1.5q₂（1-q₂）=0.24
当ξ=3时，P₂=P（A

.

B

.

B

）=P（A）P（

.

B

）P（

.

B

）=0.25（1-q₂）²=0.01，
当ξ=4时，P₃=P（

.

A

BB）P（

.

A

）P（B）P（B）=0.75q₂²=0.48，
当ξ=5时，P₄=P（A

.

B

B+AB）=P（A

.

B

B）+P（AB）
=P（A）P（

.

B

）P（B）+P（A）P（B）=0.25q₂（1-q₂）+0.25q₂=0.24
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×048+5×0.24=3.63；

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过（3分）的概率为P（

.

B

BB+B

.

B

B+BB）
=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2（1-q₂）q₂²+q₂²=0.896；
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大．

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．体现数学的科学价值．