题目内容
如图，直角△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点．（1）若AB=BC，求证：AC⊥平面SBD；
（2）求证：SD⊥平面ABC．
考点：直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知条件推导出BD⊥AC，SD⊥AC，由此能证明AC⊥平面SBD．
（2）取AB的中点E，连接DE，由已知条件推导出SE⊥AB，DE⊥AB，从而得到AB⊥面SDE，进面得到AB⊥SD，现由SA=SC，D是AC中点，得到SD⊥AC，由此能够证明SD⊥面ABC．
（2）取AB的中点E，连接DE，由已知条件推导出SE⊥AB，DE⊥AB，从而得到AB⊥面SDE，进面得到AB⊥SD，现由SA=SC，D是AC中点，得到SD⊥AC，由此能够证明SD⊥面ABC．
解答：
（1）证明：∵AB=BC，D点是AC中点，∴BD⊥AC，
又∵SA=SC，D是AC中点，∴SD⊥AC，
∵SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD．
（2）证明：取AB的中点E，连接DE，
∵SA=SB，∴SE⊥AB 在Rt△ABC中，D是AC的中点，
∴AB=BC=DC，∴DE⊥AB，且SE与DE相交于E点，
∴AB⊥面SDE，∴AB⊥SD，
又∵SA=SC，D是AC中点，∴SD⊥AC，AC与AB交于点A，
∴SD⊥面ABC．
又∵SA=SC，D是AC中点，∴SD⊥AC，
∵SD∩BD=D，
∴AC⊥平面SBD．
（2）证明：取AB的中点E，连接DE，
∵SA=SB，∴SE⊥AB 在Rt△ABC中，D是AC的中点，
∴AB=BC=DC，∴DE⊥AB，且SE与DE相交于E点，
∴AB⊥面SDE，∴AB⊥SD，
又∵SA=SC，D是AC中点，∴SD⊥AC，AC与AB交于点A，
∴SD⊥面ABC．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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