Question

若(

x

+

1

2  4 x

)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项．

Answer 1

易求得展开式前三项的系数为 1，

1

2

C

1n

，

1

4

C

2n

．（2分）
据题意 2×

1

2

C

1n

=1+

1

4

C

2n

（3分）?n=8（4分）
（1）设展开式中的有理项为T_r+1，由Tr+1=

C

r8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r8

x

16-3r

4

∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）
Tr+1=

C

r8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r8

x

16-3r

4

故有理项为：T1=(

1

2

)0

C

08

x

16-3×0

4

=x4，
T5=(

1

2

)4

C

48

x

16-3×4

4

=

35

8

x，
T9=(

1

2

)8

C

88

x

16-3×8

4

=

1

256x2

．（8分）
（2）设展开式中T_r+1项的系数最大，则：(

1

2

)r

C

r8

≥(

1

2

)r+1

C

r+18

且(

1

2

)r

C

r8

≥(

1

2

)r-1

C

r-18

（10分）
?r=2或r=3
故展开式中系数最大项为：T3=(

1

2

)2

C

28

x

16-3×2

4

=7x

5

2

T4=(

1

2

)3

C

38

x

16-3×3

4

=7x

7

4

．（12分）