题目内容

若(
x
+
1
2 
4x
)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项．
分析：由题意需先求出展开式中前三项的系数利用它们成等差数列求出n，
（1）由公式Tr+1=
C
8
r
(
x
)8-r(
1
2
4x
)r=(
1
2
)r
C
8
r
x
16-3r
4
，故可知r=0，4，8时，所得的项为有理项，代入求之即可；
（2）展开式中系数最大的项满足这样的条件，比其前的项大，也比其后的项大，由此关系可得限制条件．解不等式求出r既得．
解答：解：易求得展开式前三项的系数为 1，
1
2
C
1
n
，
1
4
C
2
n
．（2分）
据题意 2×
1
2
C
1
n
=1+
1
4
C
2
n
（3分）?n=8（4分）
（1）设展开式中的有理项为Tr+1，由Tr+1=
C
r
8
(
x
)8-r(
1
2
4x
)r=(
1
2
)r
C
r
8
x
16-3r
4

∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）
Tr+1=
C
r
8
(
x
)8-r(
1
2
4x
)r=(
1
2
)r
C
r
8
x
16-3r
4

故有理项为：T1=(
1
2
)0
C
0
8
x
16-3×0
4
=x4，
T5=(
1
2
)4
C
4
8
x
16-3×4
4
=
35
8
x，
T9=(
1
2
)8
C
8
8
x
16-3×8
4
=
1
256x2
．（8分）
（2）设展开式中Tr+1项的系数最大，则：(
1
2
)r
C
r
8
≥(
1
2
)r+1
C
r+1
8
且(
1
2
)r
C
r
8
≥(
1
2
)r-1
C
r-1
8
（10分）
?r=2或r=3
故展开式中系数最大项为：T3=(
1
2
)2
C
2
8
x
16-3×2
4
=7x
5
2
T4=(
1
2
)3
C
3
8
x
16-3×3
4
=7x
7
4
．（12分）
点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握理解二项式系数的性质及相关的公式，求二项式系数的最大项是考试的一个热点，掌握其转化的条件，及转化的思想，在一些求最值的问题中，此做法有推广的必要．
练习册系列答案
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a•4x-a-2
4x+1
．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2）g(x)=log
2
1+x
k
，若x∈[
1
2
，
2
3
]时，log2
1+x
1-x
≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
集合A={x|(
12
)x2-4x-4＞0}，B={x|x2+4x-5＞0}，B={x|x2+4x-5＞0}，C={x||x-m|＜1，m∈R}
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1+x
k
，若x∈[
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1+x
1-x
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x
+
1
2 
4x
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（1）展开式中所有x的有理项；
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