Question

设a∈R，f（x）为奇函数，且f(2x)=

a•4x-a-2

4x+1

．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2）g(x)=log

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]时，log2

1+x

1-x

≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）令t=2x，得f （x）=

a•2x-a-2

2x+1

-------------------------------（1分）
∵f （x）是奇函数，∴f（0）=0，解之可得a=1
∴函数的解析式为f（x）=

2x-1

2x+1

-----------------------------（3分）
∵由y=

2x-1

2x+1

解出2^x=

1+y

1-y

＞0，解之得-1＜y＜1
∴值域为 （-1，1）-------------------------------------------------（6分）
（2）log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

对x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立
即：log2

1+x

1-x

≤

log2 1+x k

log2 2

，
不等式log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

对x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立------（8分）
即

1+x 1-x ≤ (1+x)2 k2 k＞0

----①，对于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立
由①，得k²≤1-x²对于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立---------------------------（10分）
∴k²≤1-

4

9

=

5

9

，解之得0＜k≤

5

3

----------------------------------（12分）