Question

【题目】已知函数.

（1）当，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）已知， ， 均为正实数，且，求证 .

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)见解析

【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；

（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，构造=（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；

（3）由（2）知，当a=﹣1时， 在（0，1）上单调递增，证明 ，即 从而可得结论．

试题解析：

（1）当时， 则，

则，

∴函数的图象在时的切线方程为.

（2）∵函数在上单调递增，∴在上无解，

当时， 在上无解满足，

当时，只需，∴①

，

∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，

即在上恒成立.

设 ，

∵，∴，则在上单调递增，

∴在上的值域为.

∴在上恒成立，则②

综合①②得实数的取值范围为.

（3）由（2）知，当时， 在上单调递增，

于是当时， ，

当时， ，

∴ ，即 ，

同理有 ， ，

三式相加得 .