Question

已知命题p：任意x∈R，x²+1≥a，命题q：方程

x2

a+2

-

y2

2

=1表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意先求出f（x）的最小值，然后结合命题p为真命题，可知a≤f（x）_min，从而可求a的范围
（2）因由为真命题，可知a+2＞0，可求a的范围，然后结合p且q可知p，q都为真，可求

解答：解（1）记f（x）=x²+1，x∈R，则f（x）的最小值为1，…（2分）
因为命题p为真命题，所以a≤f（x）_min=1，
即a的取值范围为（-∞，1]．             …（4分）
（2）因为q为真命题，所以a+2＞0，解得a＞-2．…（6分）
因为“p且q”为真命题，所以

a≤1 a＞-2

即a的取值范围为（-2，1]．
…（8分）
说明：第（1）问得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给（4分），没过程不扣分，
第（2）问分两步给，得到a＞-2给（2分），得到x∈（-2，1]给（2分），少一步扣（2分）．

点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求出命题p，q为真时参数的范围