Question

9．设函数f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤2的解集是{x|1≤x≤5}．
（1）求实数a的值；
（2）若f（2x）+f（x+2）≥m对一切x∈R恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解集列出方程组求解即可．
（2）利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值，或通过分段函数求解最小值即可得到结果．

解答 解：（1）由题意可知|x-a|≤2，-2≤x-a≤2，解得a-2≤x≤a+2，…（2分）
∵不等式f（x）≤2的解集是{x|1≤x≤5}，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-2=1\\ a+2=5\end{array}\right.$解得a=3．                                   …（5分）
（2）∵f（x）=|x-3|，
∴f（2x）+f（x+2）=|2x-3|+|x-1|…（6分）
=$|x-\frac{3}{2}|+|x-\frac{3}{2}|+|x-1|$$≥0+|（x-\frac{3}{2}）-（x-1）|=\frac{1}{2}$，…（8分）
当$x=\frac{3}{2}$时，${[{f（2x）+f（x+2）}]_{min}}=\frac{1}{2}$，
∴$m≤\frac{1}{2}$．                                               …（10分）
或解$f（2x）+f（x+2）=\left\{\begin{array}{l}4-3x，x∈（{-∞，1}）\\ 2-x，x∈[{1，\frac{3}{2}}]\\ 3x-4，x∈（{\frac{3}{2}，+∞}）\end{array}\right.$
当$x=\frac{3}{2}$时，${[{f（2x）+f（x+2）}]_{min}}=\frac{1}{2}$，
∴$m≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查绝对值的几何意义，函数的最值以及恒成立问题的转化，考查计算能力．