Question

△ABC中，已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=6：4：5，给出下列结论：
①这个三角形被唯一确定
②△ABC是钝角三角形
③sinA：sinB：sinC=7：5：3
其中正确结论的序号是

②③

．

Answer 1

分析：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分别求出a、b、c的值，即可求出它们的比值，结合正弦定理即可求出sinA：sinB：sinC，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A为钝角，根据面积公式即可求出三角形ABC的面积，再与题目进行比较即可．

解答：解：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=

7

2

k，b=

5

2

k，c=

3

2

k，∴a：b：c=7：5：3，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确；
同时由于△ABC边长不确定，故①错；
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

( 5k 2 )2+( 3k 2 )2-( 7k 2 )2

2× 5k 2 × 3k 2

=-

1

2

，∴A=120°，故△ABC为钝角三角形，故②正确．
故答案为 ②③．

点评：本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的运用，利用三角形的面积公式求解面积，属于中档题．