题目内容

已知 $数学公式$ 表示焦点在y轴上的椭圆； q：直线y-1=k（x+2）与抛物线y²=4x有两个公共点．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求k的取值范围．

解：∵方程 $\text{[math]}$ ，表示焦点在y轴的椭圆，
∴2-2k＞1+k＞0，解不等式得 $\text{[math]}$ ，
故若p为真命题，则： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 消去x得 $\text{[math]}$ y²-y+2k+1=0
△=4-k（2k+1）＞0，即 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 时，直线与抛物线有二个公共点；
若q为真命题，则： $\text{[math]}$ ，
又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．
即p为真，q为假；或p为假，q为真．
∴得k=0或 $\text{[math]}$ ．
∴k的取值范围是k=0或 $\text{[math]}$ ．
分析：根据方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x²、y²的分母均为正数，且y²的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得k的取值范围．再把直线方程代入抛物线方程消去x，求得方程得判别式，分别根据判别式大于0，求得k的范围．由复合命题的真值表，结合p∨q为真，p∧q为假，可得p和q一真一假，分类讨论后可得k的取值范围．
点评：本题考查含有字母参数的方程表示椭圆，直线与圆锥曲线的关系问题，复合命题的真假判断．属于基础题．