Question

已知函数f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*)，定义使f（1）•f（2）…f（k）为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则在区间[1，2011]内这样的企盼数共有

9

个．

Answer 1

分析：由已知中函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），由对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），若其值为整数，则k+2=2ⁿ（n∈Z），结合k∈[1，2011]，我们易得到满足条件的数的个数．

解答：解：∵函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log₂3，
f（2）=log₃4
…
f（k）=log_k+1（k+2），
∴f（1）•f（2）…f（k）=log₂3•log₃4…log_k+1（k+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

=log₂（k+2），
若f（1）•f（2）…f（k）为整数
则k+2=2ⁿ（n∈Z）
又∵k∈[1，2011]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510，1022}
故答案为：9．

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，其中用换底公式log_ab=

logcb

logca

求得（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2）是解答本题的关键，属于难题．