Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

3

，且S_n=n（2n-1）a_n，通过求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的表达式（　　）

• A、

  1

  (n-1)(n+1)

• B、

  1

  2n(2n+1)

• C、

  1

  (2n-1)(2n+1)

• D、

  1

  (2n+1)(2n+2)

Answer 1

分析：由题设知a₁+a₂=6a₂，所以a₂=

1

15

=

1

3×5

，S₃=3（2×3-1）a₃，所以a₃=

1

35

=

1

5×7

，同理a₄=

1

7×9

．由此能够猜想出a_n的表达式．

解答：解：由a₁=

1

3

，S_n=n（2n-1）a_n，
得S₂=2（2×2-1）a₂，即a₁+a₂=6a₂，
∴a₂=

1

15

=

1

3×5

，S₃=3（2×3-1）a₃，
即

1

3

+

1

15

+a₃=15a₃．∴a₃=

1

35

=

1

5×7

，a₄=

1

7×9

．
由此猜想an=

1

(2n-1)(2n+1)

．
故选C．

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意观察能力的分析能力的培养．