Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为上一点.

（1）若平面，试说明点的位置并证明的结论；

（2）若为的中点，平面，且，

求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）当点为中点时有，连接，交于点，连接，由为菱形得是的中点，由三角形的中位线性质可得，即可证明；（2）以为坐标原点，分别以为轴和轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量与平面的法向量，结合图形得二面角为锐二面角，即可求得二面角的余弦值.

试题解析：（1）当点为中点时有，证明如下：

连接，交于点，连接.

由菱形性质知点是的中点.

∴

又∵

∴.

（2）由题意，以为坐标原点，分别以为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则由条件易知，所以，.

∴,

设平面的法向量为，则.

∴，即，令，则，所以，

同理可求平面的法向量.

所以，.

由图可知，二面角为锐二面角，故其余弦值为