Question

已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线L：x＝－1相切，点C在l上．

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(Ⅰ)问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

(Ⅱ)当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2＝4x． 　　 　　假设存在点C(－1，y)，使△ABC为正三角形，则|BC|＝|AB|且|AC|＝|AB|，即 　　　　因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形． 　　(Ⅱ)解法一：设C(－1，y)使△ABC成钝角三角形， 　　， 　　， 　　 　　∠CAB为钝角． 　　 　　 　　 　　 　　该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角． 　　因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是： 　　． 　　解法二：以AB为直径的圆的方程为： 　　． 　　 　　当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A， 　　B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角． 　　因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角． 　　． 　　． 　　 　　A，B，C三点共线，不构成三角形． 　　因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：