Question

已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;

(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点.

①问:△ABC能否为正三角形?若能,求出点C的坐标;若不能,请说明理由.

②当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.

Answer 1

解:设M(x,y),依题意有|MP|=|MN|,

所以|x+1|=.

化简得y²=4x.

(2)①由题意得,

直线AB的方程为y=-(x-1).

由消去y,得3x²-10x+3=0.

解得 x₁=,x₂=3.

所以A点坐标为(,),B点坐标为(3,-2),|AB|=x₁+x₂+2=.

假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形,

则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,

即

由1°-2°整理得4²+(y+2)²=()²+(y-)².

解得y=-.但y=-不符合1°.

所以由1°、2°组成的方程组无解.

因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形.

(2)以AB为直径的圆的方程为(x-)²+(y+)²=()².

圆心(,-)到直线l:x=-1的距离为,

所以以AB为直径的圆与直线l相切于点G(-1,-).

当直线l上的C点与G重合时,∠ACB为直角,当C与G点不重合,且A、B、C三点不共线时,∠ACB为锐角,即△ABC中,∠ACB不可能是钝角.

因此,要使△ABC为钝角三角形,只可能是∠CAB和∠CBA为钝角.

过点A且与AB垂直的直线方程为

y-=(x-).

令x=-1,得y=.

过点B且与AB垂直的直线方程为y+2=(x-3).

令x=-1,得y=-.

又由

解得y=2.

所以当点C的坐标为(-1,2)时,A、B、C三点共线,不构成三角形.

因此,当△ABC为钝角三角形时,

点C的纵坐标y的取值范围是y＜-或y＞(y≠2).