Question

已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点.

①△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由.

②当△ABC为钝角三角形，求这时点C的纵坐标的取值范围.

Answer 1

解：(1)设M(x,y),依题意知|MP|=|MN|,

    则|x+1|=,化简得y²=4x.

(2)①由题意知直线AB的方程为y=-(x-1).

    由消去y得3x²-10x+3=0.解得x₁=,x₂=3.

    所以A点的坐标为(,),B点的坐标为(3,-2),

|AB|=|x₁-x₂|=2×(3-)=.

    假设存在点C(-1,y),使△ABC为正三角形，

    则|BC|=|AB|,|AC|=|AB|，

    即

（1）-（2）解得y=-.但y=-,不符合①,

    故（1）（2）组成的方程组无解，因此l上不存在点C使△ABC为正三角形.

②设C(-1,y)使△ABC为钝角三角形，

    由得y=2.

    即当点C(-1,2)时，A、B、C三点共线.

    故y≠2.

    又|AC|²=(1+)²+(y-)²=y²-,

|BC|²=(3+1)²+(y+2)²=y²+4y+28,|AB|²=()²=.

    当∠CAB为钝角时，

cosA=＜0,

    即|BC|²＞|AC|²+|AB|²,28+4y+y²＞y+y²+.

    解得y＞时，∠CAB为钝角.

    同理,由|AC|²＞|BC|²+|AB|²,

    即+y²＞28+4y+y²+.

    解得y＜-时，∠CBA为钝角.

    由|AB|²＞|AC|²+|BC|²,

    即＞y+y²+28+4y+y²,

    即(y+)²＜0无解.

    故∠ACB不可能为钝角.

    综上，y＞或y＜-,且y≠2.