Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3，当n≥2时，a_n-1+a_n=4n；对于任意的正整数n，．设{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．同样可得a₃=7．由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）两式相减可得：a_n+1-a_n-1=4，所以数列{a_n}的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差为2的等差数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用，令n=1得b₁=a₁=3，，与两式相减可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，，从而可求{b_n}的通项公式，再利用错位相减法求和，即可得出结论．
解答：解：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．
同样取n=3，可得a₂+a₃=12，∴a₃=7．（2分）
由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）两式相减可得：a_n+1-a_n-1=4，
所以数列{a_n}的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n=2n+1．（5分）
（Ⅱ）在中，令n=1得b₁=a₁=3．（6分）
又，与
两式相减可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴，即当n≥2时，
经检验，b₁=3也符合该式，所以，{b_n}的通项公式为（9分）
．
．
相减可得：
利用等比数列求和公式并化简得：（11分）
可见，?n∈N₊，S_n＜14（12分）
经计算，，
注意到 {b_n}的各项为正，故S_n单调递增，所以满足13＜S_n＜14的n的集合为{n|n≥6，n∈N}．（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列通项公式的求解，不等式的解法，考查转化思想，计算能力．