题目内容

已知函数 $数学公式$ ：
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，理由如下：
由已知函数的解析式 $\text{[math]}$ 可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-f（x）
∴函数 $\text{[math]}$ 为奇函数
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，x₁•x₂-1＞0，
又∵f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）任取区间（1，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
点评：本题以对勾函数奇偶性和单调性的判断和证明为载体，考查了函数奇偶性和单调性的定义及证明方法，熟练掌握函数奇偶性和单调性的证明步骤是解答本题的关键．