题目内容

如图：过抛物线y²=4x上的点A（1，2）作切线l交x轴与直线x=-4分别于D，B．动点P是抛物线y²=4x上的一点，点E在线段AP上，满足 $数学公式$ ；点F在线段BP上，满足 $数学公式$ ，3λ₁+2λ₂=15且在△ABP中，线段PD与EF交于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若M，N是直线x=-3 上的两点，且⊙O₁：（x+2）²+y²=1是△QMN的内切圆，试求△QMN面积的取值范围．

解：（1）切线AB：y=x+1，D（-1，0），
B（-4，-3）， $\text{[math]}$ =（3，3）， $\text{[math]}$ =（2，2）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
由于E，Q，F三点共线，所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
又3λ₁+2λ₂=15，故 $\text{[math]}$ ，Q分 $\text{[math]}$ 的定比为 $\text{[math]}$ ，
设P（x₀，y₀），Q（x，y），则 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ （y $\text{[math]}$ ）
（2）设Q（x₀，y₀）（ $\text{[math]}$ ），M（-3，m），N（-3，n），
则 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
切线MQ：y-m= $\text{[math]}$ ，
由相切可得：（x₀+1）m²+2y₀m-（x₀+3）=0，
同理（x₀+1）n²+2y₀n-（x₀+3）=0．
知m，n是方程（x₀+1）x²+2y₀x-（x₀+3）=0的两根
故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
令t=x₀+1，
则 $\text{[math]}$ （t $\text{[math]}$ ），
二次求导可知g′（t）＞0，
△QMN面积的取值范围 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）切线AB：y=x+1，D（-1，0），B（-4，-3）， $\text{[math]}$ =（3，3）， $\text{[math]}$ =（2，2）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出点Q的轨迹方程．
（2）设Q（x₀，y₀）（ $\text{[math]}$ ），M（-3，m），N（-3，n），则 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．切线MQ：y-m= $\text{[math]}$ ，由相切可得：（x₀+1）m²+2y₀m-（x₀+3）=0，同理（x₀+1）n²+2y₀n-（x₀+3）=0．由此能求出△QMN面积的取值范围．
点评：本题考查点Q的轨迹方程的求法和求△QMN面积的取值范围，具体涉及到抛物线的性质、圆的性质和直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要认真审题，仔细解答．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．