Question

设等差数列{a_n}，{b_n}前n项和S_n，T_n满足，且，S₂=6；函数，且c_n=g（c_n-1）（n∈N，n＞1），c₁=1．
（1）求A；
（2）求数列{a_n}及{c_n}的通项公式；
（3）若．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差中项的概念，把转化为，结合得到，从而A的值可求；
（2）由A=1，可令S_n=kn（n+1），由S₂=6求出k，则S_n可求，分n=1和n≥2求得a_n．把给出的c_n=g（c_n-1）变形，得到数列{c_n+1}是为公比，以c₁+1=2为首项的等比数列，由等比数列的通项公式求出c_n+1，从而得到c_n；
（3）分n=2k和n=2k+1两类写出d₁+d₂+…+d_n，然后利用分组求和．
解答：解：（1）∵{a_n}，{b_n}是等差数列，
由，得，
而，
∴，解得A=1；
（2）令S_n=kn（n+1），∵S₂=6，得6k=6，k=1，即．
当n=1时，a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
该式对n=1时成立，所以a_n=2n；
由题意，变形得（n≥2），
∴数列{c_n+1}是为公比，以c₁+1=2为首项的等比数列．
，即；
（3）当n=2k+1时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k+1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1-1）+（）+…+（）]
=
=．
当n=2k时，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k-1）]+[（1-1）+（）+…+（）]
=．
综上：．
点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式和等差中项概念，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了数列的分组求和及等差数列和等比数列的前n项和公式，是中档题．