Question

在（

x

-

2

x2

）⁸的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项；
（3）求系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项．
（2）利用展开式中中间项的二项式系数最大，判断出第5项的二项式系数最大；利用二项展开式的通项公式求出第5项．
（3）据系数正负交替出现，故求系数最大的项；

解答： 解：（1）设系数绝对值最大的项是第k+1项，于是

C k 8 •2k ≥C k-1 8 •2k-1 C k 8 •2k≥ C k+1 8 •2k+1

解得5≤k≤6，
所以k=5或k=6时系数的绝对值最大，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．
（2）二项式系数最大的项是第5项，于是T5

=C

4 8

(

x

)8-4•(-2)4•x-8=

C

4 8

•24x-6；
（3）由（1）知，系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．由于系数为正的项为奇数项，故第7项系数最大，
T7

=C

6 8

•x•(-2)6•x-12=1792x-11．

点评：本题考查二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大、考查二项展开式的通项公式、考查求系数最大项的方法．