Question

已知f(x)=

x2

ax+b

，且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4（这里a、b为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；  
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得关于a，b的方程组，求出a，b即可．
（2）由（1）得f（x）解析式，用分离系数法把式子进行整理，再用均值不等式求式子的范围，分成两类得到两个范围，取并集．

解答：解：（1）依已知条件可知方程f（x）-x+12=0即为

x2

ax+b

-x+12=0，因为x₁=3，x₂=4是上述方程的解，
所以　　

9 3a+b -3+12=0 16 4a+b -4+12=0

，解得

a=-1 b=2

，
所以函数的解析式为f(x)=-

x2

x-2

（2）因为f(x)=-

x2

x-2

=-[(x-2)+

4

x-2

+4]，
当x＞2时，(x-2)+

4

x-2

≥4，当且仅当x=4时取等号，所以y≤-8
当x＜2时，(x-2)+

4

x-2

≤-4，当且仅当x=0时取等号，所以y≥0
所以函数f（x）的值域为（-∞，-8]∪[0，+∞）．

点评：用待定系数法求函数解析式是一种常用的，重要的方法，是基本技能，傎域就是由自变量的范围得到整个式子的范围，利用均值不等式时，应注意一定二正三相等．