题目内容
（2009•宁波模拟）已知双曲线
-
=1的离心率的范围是数集M，设p：“k∈M”； q：“函数f（x）=
的值域为R”．则P是Q成立的（ ）
| x2 |
| a |
| y2 |
| a2+a+1 |
|
分析：先求出双曲线的离心率，利用基本不等式可求其范围，从而可得数集M；先求分段函数的值域，从而利用充要条件的判断方法，即可判断．
解答：解：双曲线
-
=1的离心率为
=
∵a＞0
∴
≥2
∴M=[2，+∞）
当x＜1时，f(x)=lg
=lg(1+
)，
∵x＜1，∴x-2＜-1，∴-1＜
＜0，
∴0＜1+
＜1，∴f（x）＜0
当x≥1时，f（x）=2x-k≥2-k
∴若k≥2，则f（x）的值域为R；
若f（x）的值域为R，则2-k≤0，∴k≥2，
∴P是Q的充要条件
故选C．
| x2 |
| a |
| y2 |
| a2+a+1 |
| ||
|
a+
|
∵a＞0
∴
a+
|
∴M=[2，+∞）
当x＜1时，f(x)=lg
| x-1 |
| x-2 |
| 1 |
| x-2 |
∵x＜1，∴x-2＜-1，∴-1＜
| 1 |
| x-2 |
∴0＜1+
| 1 |
| x-2 |
当x≥1时，f（x）=2x-k≥2-k
∴若k≥2，则f（x）的值域为R；
若f（x）的值域为R，则2-k≤0，∴k≥2，
∴P是Q的充要条件
故选C．
点评：本题以充要条件为载体，考查双曲线的离心率，考查分段函数的值域，解题的关键是求出相应的范围．
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