题目内容
设于f(x)=
，
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）求证对任意非零实数x=20∈[10，25]，都有
＞0．
| 2x-1 |
| 2x+1 |
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）求证对任意非零实数x=20∈[10，25]，都有
| f(x) |
| x |
分析：本题重点考查函数的基本性质及其应用，对于（1）直接根据函数的单调性的定义进行判断和证明即可；（2）则需要利用指数函数的值域问题进行证明．
解答：解：（1）根据题意，可以知道f （x） 在（-∞，+∞）上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(1-
)-(1-
)=
＜0，
即f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）根据函数f(x)=
，结合指数函数的值域，
当x＞0时，有2x＞1，
∴f（x）＞0，∴
＞0
?当x＜0时，有0＜2x＜1，
∴f（x）＜0，∴
＞0．问题得证．
本题也可由
为偶函数，因此只需证x＞0，
即可．
任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(1-
| 2 |
| 2x1+1 |
| 2 |
| 2x2+1 |
| 2(2x1-2x2) |
| (2x1+1)(2x2+1) |
即f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）根据函数f(x)=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
当x＞0时，有2x＞1，
∴f（x）＞0，∴
| f(x) |
| x |
?当x＜0时，有0＜2x＜1，
∴f（x）＜0，∴
| f(x) |
| x |
本题也可由
| f(x) |
| x |
| f(x) |
| x |
点评：本题重点掌握函数的单调性的概念及其证明问题的一般步骤方法，领悟函数的基本性质的运用
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（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）