Question

设曲线C：x²-y²=1上的点P到点A_n（0，a_n）的距离的最小值为d_n，若a=0，a_n=d_n-1，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设点B_n（a_n，a_n+1）到直线l_n：x-y+=0的距离为t_n，证明：对?n∈N*，都有不等式：t₁+t₂+…+t_n＜成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P（x，y），利用两点间的距离公式，采用配方法可得d_n=，再根据a_n=d_n-1，可得d_n=，从而可得数列{}是首项为2，公差为2的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先证明t_n=，进而叠加，利用放缩法，即可证得结论．
解答：（1）解：设点P（x，y），则x²-y²=1，所以|PA_n|===，
因为y∈R，所以当y=时，|PA_n|取得最小值d_n，且d_n=，
又a_n=d_n-1，∴a_n+1=d_n，∴d_n=
∴
两边平方得-=2，又a=0，∴=2
故数列{}是首项为2，公差为2的等差数列，所以=2n，
∵a_n＞0，∴；
（2）证明：==
∴t_n=
∴t₁+t₂+…+t_n=1-+++…+
∵
∴+…+＜-1+-+…+-=-1
∴t₁+t₂+…+t_n＜1-++-1＜．
点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，解题的关键是根据目标，适当放缩，难度较大．