Question

设曲线C：x²-y²=1上的点P到点A_n（0，a_n）的距离的最小值为d_n，若a=0，，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在常数M，使得对?n∈N^*，都有不等式：成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据曲线C：x²-y²=1上的点P到点A_n（0，a_n）的距离的最小值为d_n，设点P（x，y），利用两点间的距离公式，再采用配方法可得，再根据，可得，从而可得，从而数列是首项，公差为2的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先判断a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n，从而有，所以，叠加可得结论；
（Ⅲ）先证明，从而可得，进而可知存在常数，对?n∈N^*，都有不等式：成立．
解答：（Ⅰ）解：设点P（x，y），则x²-y²=1，所以，
因为y∈R，所以当时，|PA_n|取得最小值d_n，且，
又，所以，即
将代入得
两边平方得，又a=0，
故数列是首项，公差为2的等差数列，所以，
因为＞0，所以．…（6分）
（Ⅱ）证明：因为（2n+2）（2n-1）-2n（2n+1）=-2＜0，
所以（2n+2）（2n-1）＜2n（2n+1）
所以，所以a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n
所以，所以
以上n个不等式相加得．…（10分）
（Ⅲ）解：因为，当k≥2时，，
因为，
所以
所以，
所以．
故存在常数，对?n∈N^*，都有不等式：成立．…（14分）
点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，解题的关键是根据目标，适当放缩，难度较大．