题目内容

已知椭圆C₁的方程是 $数学公式$ ，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，C₂的左、右顶点分别为C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线 $数学公式$ 与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B，且 $数学公式$ （O为原点），求k的取值范围；
（3）设P₁，P₂分别是C₂的两条渐近线上的点，点M在C₂上，且 $数学公式$ ，求△P₁OP₂的面积．

解：（1）∵椭圆C₁的方程是 $\text{[math]}$ ，
∴a=2，b=1，c= $\text{[math]}$ ，
∴双曲线C₂的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）直线y=kx+ $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 两个方程联立，并化简，得：
（1-3k²）x²-6 $\text{[math]}$ kx-9=0，
∵直线y=kx+ $\text{[math]}$ 与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B
∴△=（-6 $\text{[math]}$ k）²-4×（1-3k²）×（-9）＞0
即k²+1＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁+x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
=k²x₁x₂+ $\text{[math]}$ k（x₁+x₂）+2
= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜k＜ $\text{[math]}$ ，
故k的范围为：- $\text{[math]}$ ＜k＜ $\text{[math]}$ ．
（3）C₂渐近线为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，且p₂＞0，p₁＜0，
∴P₁P₂的方程为 $\text{[math]}$ ，
令y=0，解得P₁P₂与x轴的交点为N（ $\text{[math]}$ ，0），
∴ $\text{[math]}$
=-2 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=[ $\text{[math]}$ ]
∴p₁p₂=1，
∴△P₁OP₂的面积S=2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由椭圆C₁的方程是 $\text{[math]}$ ，知a=2，b=1，c= $\text{[math]}$ ，由此能求出双曲线C₂的方程．
（2）由直线y=kx+ $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 两个方程联立，得（1-3k²）x²-6 $\text{[math]}$ kx-9=0．由直线y=kx+ $\text{[math]}$ 与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，得k²+1＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，能求出k的范围．
（3）C₂渐近线为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，且p₂＞0，p₁＜0，P₁P₂的方程为 $\text{[math]}$ ，令y=0，解得P₁P₂与x轴的交点为N（ $\text{[math]}$ ，0），由此能求出△P₁OP₂的面积．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．