题目内容

已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2+（y-3）2=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-
2
的直线l恰好与圆C2相切．
（Ⅰ）已知椭圆C1的离心率；
（Ⅱ）若
PM
•
PN
的最大值为49，求椭圆C1的方程．
分析：（Ⅰ先得出直线l的方程，再由直线与圆相切得a2=2c2，从而求得离心率；
（II）设P（x，y）由
PM
•
PN
的最大值为49，求得c的值，从而求得椭圆方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-
2
)c=0，
因为直线与圆c2：x2+（y-3）2=1相切，所以d=
|3c-3c+
2c
|
b2+c2
=1，即a2=2c2，
从而e=
2
2
；（6分）
（Ⅱ）设P（x，y）、圆C2的圆心记为C2，则
x2
2c2
+
y2
c2
=1（c＞0），又
PM
•
PN
=(
PC2
+
C2M)
•(
PC2
+
C2N
)=
PC2
2-
C2N
2=x2+（3-y）2-1=-（y+3）2+2c2+17（-c≤y≤c）．（8分）
j当c≥3时，(
PM
•
PN
)MAX=17+2c2=49，解得c=4，此时椭圆方程为
x2
32
+
y2
16
=1；
k当0＜c＜3时，(
PM
•
PN
)MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49，
解得c=5
2
-3但c=5
2
-3＞3，故舍去．
综上所述，椭圆的方程为
x2
32
+
y2
16
=1．（14分）
点评：本题主要考查直线、圆、椭圆的基本性质及位置关系的应用，渗透向量、函数最值等问题，培养学生综合运用知识的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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