Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，焦距2c=4，过点（2，3），
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程．
（2）直线l：y=kx+1与双曲线有且仅有一个公共点，求k的值．

Answer 1

（1）由已知得：

2c=4 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得

c=2 a=1，b2=3

．
∴双曲线的方程为x2-

y2

3

=1，
双曲线的渐近线：y=±

3

x．
（2）联立

y=kx+1 3x2-y2=3

消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．
当3-k²=0时，即k=±

3

，x=-

2

k

，
此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点，满足题意．        
当3-k²≠0时，△=4 k²-4（3-k²）（-4）=0．解得k=±2．
综上所述k=±

3

或k=±2．