Question

设数列{a_n} 的前n项和S_n=n²，数列{b_n} 满足．
（Ⅰ）若b₁，b₂，b₈ 成等比数列，试求m 的值；
（Ⅱ）是否存在m，使得数列{b_n} 中存在某项b_t 满足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m
的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1求出数列{a_n} 的通项公式，代入，求出数列{b_n} 的通项公式，再结合b₁，b₂，b₈ 成等比数列即可求m 的值；
（Ⅱ）先假设存在m 使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，代入整理得，再结合t∈N^*，t≥5即可求出符合题意的m 的个数．
解答：解：（Ⅰ）因为S_n=n²，所以当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又当n=1 时，a₁=S₁=1，适合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^* ）…（4分）
所以 
则 
由b₂²=b₁b₈，
得 
解得m=0 （舍）或m=9 
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假设存在m 
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，
则 
化简得 …（12分）
所以当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 时，
分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 适合题意，
即存在这样m，且符合题意的m 共有9个 …（14分）
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题．解决本题的关键在于利用已知前n项和求通项的方法求出数列{a_n} 的通项公式．