Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合；

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分别对两函数求导，求出两函数在处切线的斜率，再利用点斜式求出切线的直线方程，就可以证明曲线与在处的切线重合；

（Ⅱ）方法1：构造 对求导得到，对进行分类讨论，利用函数的单调性，综合分析，最后求出实数的取值范围。

方法2：可得（），构造新函数

设，求导，对进行分类讨论，利用函数的单调性，综合分析，最后求出实数的取值范围。

证明:(Ⅰ)

在处的切线方程为

在处的切线方程为

所以切线重合.

（Ⅱ）（方法1）：令

①当时，，当且仅当时取“”，

在递减，，不恒成立.

②当时，，

（i）当时，时，，递减，

，在递减，

，不恒成立.

（ii）当时，，在递增，

，在递增，

，恒成立.

综上，.

（Ⅱ）（方法2）：

，

（），

设，

，，在递减， ，与已知矛盾

，

①，， 在递增，满足题意

②当时， ，，在递减，，

不满足题意

综上，