Question

关于x的不等式-x-

1

x

≤a在区间[1，2]上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：设f(x)=-x-

1

x

，x∈[1，2]，不等式-x-

1

x

≤a在区间[1，2]上有解，等价于a≥f（x）_min，利用导数求得函数的最小值，即可求得a的取值范围．

解答：解：设f(x)=-x-

1

x

，x∈[1，2]，则f′(x)=-1+

1

x2

=

(1-x)(1+x)

x2

，
所以x∈[1，2]时，f'（x）≤0，即f（x）在区间[1，2]上是减函数，
所以，x∈[1，2]时，f(x)min=f(2)=-

5

2

．
因为-x-

1

x

≤a在区间[1，2]上有解，所以a≥f(x)min=-

5

2

故a的取值范围是[-

5

2

，+∞)．

点评：本题考查不等式有解，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是求函数的最小值．