题目内容

研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0，解集为（1，2），解关于x的不等式cx2-bx+a＞0”有如下解法：
解：由cx2-bx+a＞0且x≠0，所以
(c×2-bx+a)
x2
＞0得a（
1
x
）2-
b
x
+c＞0，设
1
x
=y，得ay2-by+c＞0，由已知得：1＜y＜2，即1＜
1
x
＜2，∴
1
2
＜x＜1所以不等式cx2-bx+a＞0的解集是（
1
2
，1）．
参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式
b
(x+a)
+
(x+c)
(x+d)
＜0的解集是：（-3，-1）∪（2，4），则不等式
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
＜0的解集是
(-
1
2
，-
1
4
)∪(
1
3
，1)
(-
1
2
，-
1
4
)∪(
1
3
，1)
．
分析：由给出的不等式可知x≠0，分子分母同时除以x后换元，即y=-
1
x
，则由已知不等式的解集得到了y的范围，进一步求解分式不等式得到x的范围．
解答：解：由
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
＜0且x≠0，得
b
a-
1
x
+
c-
1
x
d-
1
x
＜0，
令y=-
1
x
，则
b
y+a
+
y+c
y+d
＜0，
∴y∈（-3，-1）∪（2，4），即-
1
x
∈（-3，-1）∪（2，4），
由-3＜-
1
x
＜-1，解得
1
3
＜x＜1；
由2＜-
1
x
＜4，解得-
1
2
＜x＜-
1
4
．
∴不等式
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
＜0的解集是(-
1
2
，-
1
4
)∪(
1
3
，1)．
故答案为：(-
1
2
，-
1
4
)∪(
1
3
，1)．
点评：本题考查了类比推理，考查了分式不等式的解法，解答的关键是明确不等式
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
＜0的分子分母同时除以x后原不等式不等号不变，是基础题．
练习册系列答案
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研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2-bx+a＞0”，有如下解法：
解：由ax2-bx+c＞0?a-b(
1
x
)+c(
1
x
)2＞0，令y=
1
x
，则y∈(
1
2
， 1)，所以不等式cx2-bx+a＞0的解集为(
1
2
， 1)．
参考上述解法，已知关于x的不等式
k
x+a
+
x+b
x+c
＜0的解集为（-2，-1）∪（2，3），求关于x的不等式
kx
ax-1
+
bx-1
cx-1
＜0的解集．
研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx2-bx+a＞0有如下解法：由ax2-bx+c＞0?a-b(
1
x
)+c(
1
x
)2＞0，令y=
1
x
，则y∈(
1
2
，1)，所以不等式cx2-bx+a＞0的解集为(
1
2
，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式
k
x+a
+
x+b
x+c
＜0的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式
kx
ax-1
+
bx-1
cx-1
＜0的解集
 
．
研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集为（1，3），解关于x的不等式cx2-bx+a＞0”，有如下解法：
解：由ax2-bx+c＞0?a-b(
1
x
)+c(
1
x
)2＞0，令y=
1
x
，则y∈(
1
3
， 1)，所以不等式cx2-bx+a＞0的解集为(
1
3
， 1)．
参考上述解法，已知关于x的不等式
k
x+a
+
x+b
x+c
＜0的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式
kx
ax-1
+
bx-1
cx-1
＜0的解集为
 
．
研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2-bx+a＞0”，有如下解法：由ax2-bx+c⇒a-b（
1
x
）+c（
1
x
）2＞0，令y=
1
x
，则y∈(
1
2
，1)，所以不等式cx2-bx+a＞0的解集为（
1
2
，1）．类比上述解法，已知关于x的不等式
k
x+a
+
x+b
x+c
＜0的解集为（-3，-2）∪（1，2），则关于x的不等式
kx
ax-1
+
bx-1
cx-1
＜0的解集为
（-1，-
1
2
）∪（
1
3
，
1
2
）
（-1，-
1
2
）∪（
1
3
，
1
2
）
．
研究问题：“已知关于x的方程ax2-bx+c=0的解集为{1，2}，解关于x的方程cx2-bx+a=0”，有如下解法：
解：由ax2-bx+c=0⇒a-b(
1
x
)+c(
1
x
)2=0，令y=
1
x
，则y∈{
1
2
， 1}，
所以方程cx2-bx+a=0的解集为{
1
2
， 1}．
参考上述解法，已知关于x的方程4x+3•2x+x-91=0的解为x=3，则
关于x的方程log2(-x)-
1
x2
+
3
x
+91=0的解为
x=-
1
8
x=-
1
8
．

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