题目内容

下列命题:
①设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-
1
2

②关于x的不等式(a-3)x2<(4a-2)x对任意的a∈(0,1)恒成立,则x的取值范围是(-∞,-1]∪[
2
3
,+∞)

③变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则r2<0<r1
④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
根据上表提供的数据,得出y关于x的线性回归方程为y=a+0.7x,则a=-0.35;
以上命题正确的个数是(  )
分析:①,欲求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率,即求f′(1),先求出f′(x),然后根据曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1求出g′(1),从而得到f′(x)的解析式,即可求出所求.
②,不等式(a-3)x2<(4a-2)x即(x2-4x)a-3x2+2x<0,令g(a)=(x2-4x)a-3x2+2x,a∈(0,1),借助一次函数单调性可得关于x的不等式组,解出即可;
③,求两组数据的相关系数的大小和正负,可以详细的解出这两组数据的相关系数,现分别求出两组数据的两个变量的平均数,利用相关系数的个数代入求出结果,进行比较.
④,根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据,代入求系数b的公式,求得结果,再把样本中心点代入,求出a的值,得到线性回归方程.
解答:解:①中,f′(x)=g′(x)+2x.
∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,
∴g′(1)=2,∴f′(1)=g′(1)+2×1=2+2=4,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率为4,
故①错误.
②中,不等式(a-3)x2<(4a-2)x即(x2-4x)a-3x2+2x<0,
令g(a)=(x2-4x)a-3x2+2x,a∈(0,1)
由题意可得g(a)<0在a∈(0,1)恒成立,结合一次函数的单调性可得
g(0)≤0
g(1)≤0
,即
-3x2+2x≤0
-2x2-2x≤0
,解不等式组可得x≤-1或x≥
2
3

∴x的取值范围是(-∞,-1]∪[
2
3
,+∞)

故②正确;
③中,∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),
.
X
=
10+11.3+11.8+12.5+13.5
5
11.72,
.
Y
=
1+2+3+4+5
5
=3,
∴这组数据的相关系数是r=
7.2
19.172
=0.3755,
变量U与V相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1)
.
V
=
5+4+3+2+1
5
=3

∴这组数据的相关系数是-0.3755,
∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零,即r2<0<r1
故③正确;
④中,由对照数据,计算得
4
i=1
xi2
=86,
.
x
=
3+4+5+6
4
=4.5,
.
y
=
2.5+3+4+4.5
4
=3.5,
4
i=1
xiyi
=66.5,4
.
x
.
•y
=63
4
.
x
2
=81,
∴求得回归方程的系数为b=0.7,a=0.35,
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35,
故④错误;
故选C.
点评:本题考查导数的几何意义、函数的恒成立问题求解参数的取值、线性回归方程的求解,考查了转化思想,用相关系数来衡量两个变量之间相关关系,当相关系数为正时,表示两个变量正相关,也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系,本题涉及考点较多,综合性较强.
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