题目内容

抛物线C：y²=2px的焦点坐标为 $数学公式$ ，则抛物线C的方程为，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于．

y²=2x $\text{[math]}$
分析：由y²=2px的焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，从而求得p值，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，直线x+y+5=0与切线距离即为|PQ|的最小值，联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，从而得切线方程，根据两点间距离公式即可求得答案．
解答：因为y²=2px的焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，
所以p＞0，且 $\text{[math]}$ ，解得p=1，
所以抛物线方程为y²=2x，
设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，
由 $\text{[math]}$ 得y²+2y+2m=0，
令△=0，即2²-4×2m=0，解得m= $\text{[math]}$ ，
则切线方程为x+y+ $\text{[math]}$ =0，
两平行线间的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即为|PQ|的最小值．
故答案分别为：y²=2x， $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质，考查转化思想，解决本题的关键把|PQ|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解．

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