Question

【题目】已知函数，函数．

⑴若的定义域为，求实数的取值范围；

⑵当时，求函数的最小值；

⑶是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】⑴；⑵；⑶存在满足题意．

【解析】

试题分析：对问题⑴，根据题目条件首先要对实数的取值进行分类讨论，再结合极端不等式恒成立即可求出函数的定义域为时实数的取值范围；对于问题⑵，根据二次函数的单调性并结合对参数的分类讨论，即可求得函数的最小值；对问题⑶，根据二次函数的单调性以及函数与方程的思想即可知道存在符合题意的实数、的值．

试题解析：⑴定义域为．

所以对一切成立． ……………………1分

当时，不可能对一切成立． ……………………2分

所以，即解得．

综上． ……………………4分

⑵，

令，

所以 ……………………5分

当时，． ……………………6分

当时，． ……………………7分

当时，． ……………………8分

所以 ……………………9分

⑶在上是增函数，

若存在非负实数、满足题意，则，………………………………10分

即、是方程的两非负实根，且，

所以．

即存在满足题意………………………………12分．