Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2
（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积V．

Answer 1

分析 （1）先证 CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC；
（2）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∵E、F分别为PD、PC中点，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAC；
（2）解：在Rt△BAC中，∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2；
在Rt△DAC中，∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，
∴CD=2$\sqrt{3}$，AD=4；
故底面ABCD的面积为S=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$×S×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定，考查了学生的空间想象力及计算能力，属于中档题．