Question

【题目】若函数满足：，则称为“函数”．

（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；

（2）若为“函数”且，

（ⅰ）求证：的零点在上；

（ii）求证：对任意，存在，使在上恒成立．

Answer 1

【答案】(1)是“函数”，理由见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)因为满足,所以是“函数”；(2)(i)由

且,解得,根据函数和都在上单调递增,可得单调递增,再根据零点存在性定理可判断零点在上；(ii)由(i)可知,且,又因为函数单调递增,所以在时,,所以存在,使在上恒成立.

试题解析：解：（1）∵，

∴为“函数”．

（2）∵①

②

∴①+②得：，∴．

（ⅰ）∵与均为增函数，∴在上为赠函数，

又，∴的唯一零点必在上．

∵，，∴的唯一零点在上．

（ⅱ）由（ⅰ）知，的零点，且，

又在上为增函数，∴在上恒成立，

∴对任意，存在，使在上恒成立．