Question

已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。
（1）求四棱锥P—ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。

Answer 1

（1）2 /3   （2）略（3）120°

本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直，以及二面角的求解的综合运用。
解：（I）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1（2分）
∴VP-ABCD="1" /3 •S_ABCD×PC="1" /3 •1²•2="2" /3  （1分）
（II）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD∴PC⊥BD …（1分）而BD⊥AC，AC∩AE=A，
∴BD⊥面ACE，…（1分）而AE?面ACE∴BD⊥AE （1分）
（III）法一：连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O
S△AOE="1/" 2  S△ACE="1" /2 ×1/ 2 × = / 4 ．
S△ABE="1" /2 AB•BE=  =  / 2 ，（2分）∴cosθ=S△AOE /S△ABE ="1" /2
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°（2分）
法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系
则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
从而 DE =（-1，0，1）， DA =（0，1，0），
BA =（1，0，0）， BE =（0，-1，1）（2分）
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
n₁ =（x₁，y₁，z₁）， n₂ =（x₂，y₂，z₂）则-x₁+z₁=0，y₁=0
x₂=0，-y₂+z₂=0令z₁=1，z₂=-1，则 n₁ =（ （1，0，1）， n₂ =（0，-1，-1）（2分）
设二面角D-AE-B的平面角为θ，则|cosθ|="|" n₁ •  n₂  | /| n₁ | ×| n₂|  =  1 /2 ．
二面角D-AE-B为钝二面角．∴二面角D-AE-B的大小为2π/ 3 ．