Question

（2010•广东模拟）已知：向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sin2x，cos2x），（0＜x＜π），函数f(x)=

a

•

b

．
（1）若f（x）=0，求x的值；
（2）求函数f（x）的取得最大值时，向量

a

与

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）根据两向量的坐标，利用向量积的计算求得函数f（x）的解析式，利用f（0）=0求得tan2x的值，进而x的范围求得x的值．
（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最大和最小值，最后利用向量的数量积的运算求得

a

与

b

的夹角的余弦值，进而求得其夹角．

解答：解：∵f(x)=

a

•

b

=

3

sin2x-cos2x
（1）由f（x）=0得

3

sin2x-cos2x=0即tan2x=

3

3

∵0＜x＜π，∴0＜2x＜2π
∴2x=

π

6

，或2x=

7π

6

，
∴x=

π

12

或

7π

12

（2）∵f(x)=

3

sin2x-cos2x=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)
=2(sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

)=2sin(2x-

π

6

)
∴当x=

π

3

时，f（x）_max=2
由上可得f（x）_max=2，当f（x）=2时，
由

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞=2得cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=1，
∵0≤＜

a

，

b

＞≤π∴＜

a

，

b

＞=0

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，二倍角公式的化简求值，向量数量积的运算．考查了基础知识的综合运用．