Question

已知椭圆的上、下焦点分别为N、M，若动点满足

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线,设倾斜角为的直线过点，交轨迹于两点 ，交直线于点.若，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）|AR|·|BR|的最小值为.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)设,则，，………2分

所以                           ………4分

                                                ………6分

(Ⅱ)设直线l₂的方程为，与抛物线方程联立消去y得x²-4kx-4=0．

记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则.          ………8分

因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为 .       ………9分

|AR|·|BR|=|x₁-x_R|·|x₂-x_R|

=(1+k²)·(x₁+)(x₂+)=(1+k²) x₁ x₂+(+2 k)( x₁+x₂)+ +4

= -4(1+k²)+4k(+2k)+ +4=4(k²+)+8，       ………………………13分

又α∈（0，],k∈（0，],在（0，]递减

从而|AR|·|BR|的最小值为.          ………15分

考点：抛物线，直线与抛物线

点评：本试题主要是考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的运用，对于坐标的表示和运用，是解题的关键，属于中档题。