Question

【题目】如图，已知圆E：经过椭圆C：（）的左右焦点，，与椭圆C在第一象限的交点为A，且，E，A三点共线.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在与直线（O为原点）平行的直线l交椭圆C于M，N两点.使，若存在，求直线l的方程，不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）求出圆E与x轴的交点即可求得c，由，E，A三点共线推出为圆E的直径且，勾股定理求出，利用椭圆的定义即可求出a，进而求出b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出、的表达式，对进行数量积的坐标运算即可求得参数m.

（1）令，则，解得，所以，

因为，E，A三点共线，所以为圆E的直径，且，

所以.

因为，所以，

则，，，

所以椭圆C的方程为.

（2）由，则，

假设存在直线l：满足条件，

由，得

设直线l交椭圆C于点，，

则，，且，即，

，

，，解得，

故存在直线l：满足条件