题目内容
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=1，AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.
(1)证明:EF为BD1与CC1的公垂线(即证EF与BD1、CC1都垂直);
(2)求点D1到面BDE的距离.
(1)证明:如图,取BD中点M,连结MC、FM.
∵F为BD1中点,
∴FM∥D1D且
.?
又
且EC⊥MC,
∴四边形EFMC是矩形.∴EF⊥CC1.
又CM⊥面DBD1,
∴EF⊥面DBD1.
又
面DBD1,
∴EF⊥BD1.
故EF为BD1与CC1的公垂线.
(2)解:连结ED1,有VE-DBD1=VD1-DBE.
由(1)知EF⊥面DBD1.
设点D1到面BDE的距离为d,
则S△DBE·d=S△DBD1·EF.
∵AA1=2,AB=1,
∴
,
.
∴
,
.
∴
.
故点D1到平面BDE的距离为
.
解析:
简单几何体和球,空间直线和平面
练习册系列答案
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如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与它的侧视图（或称左视图），E是DD1上一点，AE⊥B1C．
（2006•广州模拟）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，AA1=2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．