Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程．

（2）求｜AP｜｜AQ｜的值．

Answer 1

【答案】（1）； x2＋y2＝2y；（2）3

【解析】

（1）由直线的倾斜角与所过定点写出直线的参数方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，即可得到答案．

（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得到关于的一元二次方程，再由根与系数的关系，以及的几何意义，即可求解的值．

(1)由题意知，倾斜角为α的直线l过点A（2，1，

所以直线l的参数方程为 (t为参数)，

因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，

把y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0 ，

设P、Q的参数分别为t1、 t2，由根与系数的关系得

t1＋t2＝－4cos α，t1t2＝3，且由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，

所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.