Question

【题目】设三个数成等差数列，记对应点的曲线是.

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，点，点，过点任作直线与曲线相交于两点，设直线的斜率分别为，若，求满足的关系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）三数成等差数列的几何意义是动点到两个定点的距离的和为定值，故动点的轨迹为椭圆且椭圆方程为.

（2）设，直线，则 ，联立方程组并消元后利用韦达定理可得为定值，从而得到满足的关系式.

详解：（1）依题意：，

所以点对应的曲线方程是椭圆得，故，故

椭圆方程为

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为.

由，解得，

不妨设，因为，且，

所以，所以满足的关系式为，即.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入，整理得.

设，则

又，，所以

.

所以，所以，所以满足的关系式为.

综上所述，满足的关系式为.