Question

已知函数f(x)=

sin2x+cos2x+1

2 sin( π 4 +x)

+cos(

π

2

+x)．
（1）当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，求f（x）的最大值
（2）若-π＜θ＜0，且f（θ）=2，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（x）=2cosx-sinx=-

5

sin[x+arctan(-2)]，再利用角的范围求出最值即可．
（2）由题意可得：

sinθ

1-cosθ

=-2，再利用二倍角公式可得tan

θ

2

=

1-cosθ

sinθ

=-

1

2

，且

θ

2

∈(-

π

2

，0)，进而求出答案．

解答：解：（1）由题意可得：f(x)=

sin2x+cos2x+1

2 sin( π 4 +x)

+cos(

π

2

+x)
=

2sinxcosx+2cos2x

sinx+cosx

-sinx
=2cosx-sinx
=-

5

sin[x+arctan(-2)]，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，-

π

2

＜arctan(-2)＜-

π

3

．
∴x+arctan(-2)∈(-

2π

3

，-

π

6

)
因此当x+arctan(-2)=-

π

2

，即x=arctan2-

π

2

时，
f(x)max=

5

．
（2）由题意可得：f（θ）=2cosθ-sinθ=2，即

sinθ

1-cosθ

=-2，
又因为tan

θ

2

=

1-cosθ

sinθ

=-

1

2

，且

θ

2

∈(-

π

2

，0)，
所以tanθ=

2tan θ 2

1-2tan θ 2

=-

4

3

．

点评：本题考查利用两角和与差的正弦余弦公式以及二倍角公式对三角函数进行化简并且求值，并且考查三角函数最值的求解，考查计算能力，是中档题．