Question

（本题满分13分）如图，在三棱柱中，已知
侧面

(Ⅰ)求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
(Ⅱ)在棱（不包含端点上确定一点的位置，使得(要求说明理由).
(Ⅲ)在（2）的条件下,若，求二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 2    (Ⅱ)为的中点     (Ⅲ) 45°

本试题主要是考查了线面角和线线垂直的证明，以及二面角的平面角的求解的综合运用。
（1）先建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量以及直线的斜向量，利用向量的夹角公式得到线面角的求解。
（2）假设存在点使得满足题意，然后利用垂直关系解得点的坐标，进而分析得到结论。
（3）在前面的基础上，进一步得到两个半平面的法向量的求解，结合法向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小的运算。
解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，

则，，···················· 1分
(Ⅰ)直三棱柱中，平面的法向量，又，
设，
则 ·············· 3分
 即直线与底面所成角正切值为2.  ·········· 4分
（Ⅱ）设，则，
，∴  
，即 ·················· 8分
Ⅲ）∵，则，
设平面的法向量，
则，取 ··········· 10分
∵，∴，
又····················· 11分
∴平面的法向量，∴
∴二面角的大小为45°   13分