题目内容

设a＞0，f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

解：（1）当a=2时， $\text{[math]}$
当x＞e时， $\text{[math]}$ 恒成立，
当0＜x＜e时， $\text{[math]}$ ，
令f′（x）＞0得1＜x＜e
又 $\text{[math]}$ ，
故f（x）在x=e处连续，
所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）当x＞e时， $\text{[math]}$ ，故f（x）在（e，+∞）单增
当0＜x＜e时， $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$
则f（x）在 $\text{[math]}$ 单增，
f（x）在 $\text{[math]}$ 单减．
又f（x）在x=e处连续．
故，当 $\text{[math]}$ 时，
f_min（x）=f（e）=e²
当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，
f_min（x）=f（1）=1+a
分析：（1）当a=2时，f（x）=x²+2|lnx-1|，利用零点分段法，我们可将函数化为分段函数的形式，进而根据分段函数分段处理的原则，分别求出当x＞e时，和当0＜x＜e时，导函数的解析式，利用导数法，即可求出f（x）的单调区间；
（2）类比（1），利用导数法，我们可以判断出f（x）在（e，+∞）单增，f（x）在 $\text{[math]}$ 单增，f（x）在 $\text{[math]}$ 单减，进而根据分段函数最值的求法，可得当 $\text{[math]}$ 时，f_min（x）=f（e）=e²，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，f_min（x）=f（1）=1+a．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中利用零点分段法，将函数的解析式化为分段函数的形式，是解答本题的关键，另外解答时要注意函数的定义域为（0，+∞），以免产生错误．