Question

圆C：x²+y²=1经过伸缩变换

x′=ax y′=by

（其中a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b的取值都是随机的．）得到曲线C′，则在已知曲线C′是焦点在x轴上的椭圆的情形下，C′的离心率e＞

3

2

的概率等于

1

2

．

Answer 1

分析：求出圆C：x²+y²=1经过伸缩变换曲线C′的方程，结合曲线C′是焦点在x轴上的椭圆，求出a，b满足条件，及C′的离心率e＞

3

2

满足条件，求出对应平面区域面积后，代入几何概型公式，可得答案．

解答：解：x²+y²=1经过伸缩变换可得曲线C′，
故曲线C′的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1
若线C′是焦点在x轴上的椭圆
则a＞b
若C′的离心率e＞

3

2

则a＞2b
又由0＜a＜2，0＜b＜2，
则满足曲线C′是焦点在x轴上的椭圆的基本事件对应图形如下图中三角形所示
满足C′的离心率e＞

3

2

的基本事件如下图中阴影部分所示
则C′的离心率e＞

3

2

的概率P=

S阴影

S△ABC

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查的知识点是伸缩变换，几何概型，其中求出曲线C′是焦点在x轴上的椭圆的区域面积，及C′的离心率e＞

3

2

的区域面积是解答本题的关键．