Question

设a＞0，b＞0，若矩阵A=

a 0 0 b

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y）为圆C上一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′），得P′（ax，by）在椭圆E上，化简所得方程与圆C为同一方程，比较系数可得a，b的值；
（2）设A^-1=

m n p q

，由逆矩阵定义建立关于n、m、p、q的方程组，解之可得n、m、p、q的值，从而得到逆矩阵A^-1．

解答：解：（1）设点P（x，y）为圆C：x²+y²=1上任意一点，
经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）
则

a 0 0 b

x y

═

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

． …2分
因为点P′（x′，y′）在椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1上，
所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，这个方程即为圆C方程．  …6分
因为a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．       …8分
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，设A^-1=

m n p q

，
得AA^-1=

2 0 0 3

m n p q

=

2m 2n 3 p 3 q

=

1 0 0 1

．
．∴m=

1

2

，n=p=0，q=

3

3

，可得A^-1=

1 2 0 0 3 3

 …10分

点评：本题已知单位圆在矩阵A的作出下变换成的图形，求变换的矩阵A，着重考查了圆的方程、椭圆的标准方程和逆变换与逆矩阵等知识，属于基础题．